Die seltsame Mathematik der Kipppunkte

Man könnte meinen, die Wissenschaft hätte so ziemlich alle Rätsel der Alltagsphysik bereits gelöst. Hinweise darauf, dass das ein Irrtum ist, können Sie aber sogar in Ihrer Küche finden. Etwa wenn Sie Eiswürfel machen. 

Eis entsteht, wenn Wassermoleküle, bei höheren Temperaturen heftig durcheinandergewirbelt, am Gefrierpunkt langsamer werden und sich zu einem hexagonalen Kristallgitter anordnen. Daraufhin wechselt das Wasser vom flüssigen in den festen Zustand.
 

Kipppunkte und die verblüffende Macht der Mathematik

Diese Verwandlung, so banal sie scheint, steht exemplarisch für ein handfestes Rätsel in der Wissenschaft, sagt Nathanaël Berestycki, Mathematiker und Professor für Stochastik an der Universität Wien: "Man könnte meinen, dass sich Eis schrittweise bildet: Je mehr man die Temperatur senkt, desto mehr Eis bildet sich. Das ist aber nicht der Fall." In Wahrheit ändert sich das Gesamtverhalten des Wassers schlagartig, sobald es beim Abkühlen eine kritische Temperatur unterschreitet. Der Übergang des Wassers von der flüssigen in die feste Phase ist nicht graduell, sondern plötzlich. 

Aber warum? Diese Frage beschäftigt Mathematiker wie Nathanaël Berestycki beim Nachdenken über solche Phasenübergänge: "Wie kann eine kleine Veränderung in einem System eine so dramatische Wirkung haben? Dahinter steckt komplexe Mathematik. Bisher haben wir noch kein vollständiges Bild davon, was genau passiert, wenn ein System am Kipppunkt kippt." 

Trotz der Rätsel, die Phasenübergänge uns aufgeben, ist unsere Welt voll mit ihnen. "Sobald man das Prinzip verstanden hat, sieht man auf einmal überall Phasenübergänge", sagt Berestycki. Zum Beispiel verwandeln sich Maiskörner plötzlich in Popcorn, wenn eine kritische Temperatur erreicht wird. Oder nehmen wir das Beispiel einer Pandemie: Wenn jede infizierte Person das Virus im Durchschnitt auf mehr als eine andere Person überträgt, wandelt sich der Ausbruch von kontrollierbar zu explosionsartig. "Ähnlich kann man sich ein Gerücht als eine Idee vorstellen, die sich wie ein Virus ausbreitet: Sobald es eine kritische 'Übertragungsrate' erreicht, verbreitet es sich rasant", fügt er hinzu. 

So unterschiedlich diese Beispiele auch sind, mathematisch gesehen entsprechen sie alle dem Phasenübergang des Wassers vom flüssigen in den festen Aggregatzustand. "Das zeigt, wie gut die Mathematik verschiedenste physikalische Phänomene beschreiben kann", so Berestycki, einer der Leiter des Spezialforschungsbereichs "Discrete Random Structures" an der Universität Wien. "Das erinnert mich daran, was der Physiker Eugene Wigner als 'unreasonable effectiveness of mathematics' bezeichnete: Die Mathematik ist so gut darin, die Realität zu beschreiben, dass es fast unheimlich ist."

Um physikalische Phänomene, soziale Netzwerke oder andere Systeme zu beschreiben, versuchen Mathematiker*innen, ein mathematisches Modell zu erstellen, d. h. "eine mehr oder weniger korrekte mathematische Beschreibung von etwas", erklärt Berestycki. Ein gutes Modell ermöglicht es, die Eigenschaften eines Systems zu verstehen ‒ und vorherzusagen, wie sie sich verändern, wenn man bestimmte Parameter ändert.

Ein Modell der Ansteckungsketten hilft Epidemiolog*innen beispielsweise bei der Vorhersage, ob eine Krankheit entweder verschwinden oder sich rasch ausbreiten wird. Albert Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie beinhaltet ein Modell der Gravitation, mit dem er die Existenz von Schwarzen Löchern vorhersagen konnte. Modelle sind also die theoretischen Werkzeuge, die uns helfen, die Welt um uns herum besser zu verstehen.

Von erhitzten Magneten zur Proteinfaltung

Vor etwa hundert Jahren entwickelte der deutsche Physiker Ernst Ising eines der wichtigsten Modelle der mathematischen Physik. Dieses "Ising-Modell" erklärt einen seltsamen Phasenübergang, der den Ferromagnetismus betrifft (das ist der Magnetismus einiger Materialien, die bestimmte Metalle wie Eisen enthalten). Pierre Curie hatte zuvor beobachtet, dass ein Ferromagnet seinen Magnetismus verliert, wenn er über eine kritische Temperatur, die so genannte Curie-Temperatur, erhitzt wird. Kühlt der Magnet unter die Curie-Temperatur ab, wird er plötzlich wieder magnetisch. 

Der Grund: Ein Magnet besteht quasi aus unzähligen mikroskopisch kleinen Magneten, weil Atome von Natur aus magnetisch sind. Wenn die sogenannten "magnetischen Momente" der Atome in die gleiche Richtung zeigen, ist das Material als Ganzes magnetisch. Wenn sie ungleich ausgerichtet sind, heben sich die magnetischen Effekte gegenseitig auf. Bei hohen Temperaturen werden die Atome in einem Ferromagneten so stark durcheinanderbewegt, dass sie sich nicht mehr gleich ausrichten können, sodass das Material keinen Nettomagnetismus mehr aufweist.

Isings Trick: Er stellte sich einen Magneten als eine zufällige Anordnung von Pfeilen auf einem Gitter vor, die entweder nach oben oder nach unten zeigen und so die magnetische Ausrichtung der Atome darstellen. Jeder Pfeil versucht, die benachbarten Pfeile im Raster dazu zu bringen, sich in die gleiche Richtung auszurichten., bis schließlich die meisten Pfeile in dieselbe Richtung zeigen. Insgesamt hat das System dann eine magnetische Gesamtausrichtung. Wird jedoch Wärme zugeführt, werden die Atome durcheinandergewirbelt und die Unordnung nimmt Überhand. Die Pfeile zeigen dann nicht mehr in dieselbe Richtung.

Dieses verblüffend einfache Konzept wird als Ising-Modell bezeichnet und gilt – nach späteren Modifikationen durch andere Forschende – immer noch als einer der nützlichsten Ansätze, die Entstehung von Magnetismus aus dem komplexen kollektiven Verhalten von Elementarmagneten zu beschreiben. Heute ist es weit über die Mathematik hinaus von Bedeutung und dient als Modell für Erdbebendynamik, Proteinfaltung, das Gehirn oder sogar soziale Segregation. 

"Das Ising-Modell passt zu vielen Phänomenen, bei denen sich aus den lokalen Wechselwirkungen der einzelnen Komponenten des Systems globale Muster ergeben", erklärt Berestycki. Das macht das Modell zu einem hervorragenden Werkzeug, Phasenübergänge zu erforschen, fügt er hinzu: "Es ermöglicht uns, darüber nachzudenken, wie sich Phasenübergänge abspielen und was genau am Übergang von einem Zustand in den anderen passiert. Ohne dieses Modell wären diese Prozesse nahezu unmöglich zu berechnen."

Doch es gibt einen Haken: Das Ising-Modell ist noch lange nicht fertig. Ising und die Wissenschafter*innen nach ihm konnten nur in der ersten und zweiten Dimension exakte Lösungen des Modells finden. Beide Versionen sind für viele Anwendungen nützlich, aber dennoch: "Wir können nicht vollständig beschreiben, wie ein Phasenübergang in 3D abläuft. Das bedeutet, dass wir einige der grundlegendsten Funktionsweisen unserer dreidimensionalen Realität nicht wirklich verstehen", so der Mathematiker. Bis heute ist die Lösung des Modells in 3D eine der größten Herausforderungen der mathematischen Physik.

Die Sprache des Zufalls

Eine Schlüsselzutat für ein tieferes Verständnis komplexer Systeme ist der Zufall, so Berestycki. "Man muss in Wahrscheinlichkeiten denken, denn Phasenübergänge sind im Grunde genommen vom Zufall bestimmt", sagt er, und kommt auf das Beispiel des gefrierenden Wassers zurück: "Ein einzelnes Wassermolekül ist Chaos ausgesetzt, da es willkürlich herumgeschubst wird. Doch wenn man viele Moleküle hat, ergibt sich aus dieser Zufälligkeit ein kollektives Verhalten."

Das Gute daran: Der Zufall ist nicht so, nun ja, zufällig, wie wir vielleicht denken, fügt er hinzu: "Die alten Griechen dachten, der Zufall sei reines Chaos und es sei daher sinnlos, sich mit ihm zu beschäftigen. Heute wissen wir jedoch, dass der Weg eines einzelnen Wasserteilchens vielleicht nicht nachvollziehbar ist, sich aber aus dem kollektiven Verhalten von Millionen von Teilchen unvermeidlich eine vorhersagbare Struktur ergibt."

Der Mathematiker veranschaulicht dieses Phänomen anhand eines Münzwurfs: Das Ergebnis eines einzigen Münzwurfs ist zufällig und kann nicht vorhergesagt werden. Wirft man eine Münze einmal, bekommt man entweder Kopf oder Zahl. Wirft man die Münze zehnmal, scheint es immer noch zufällig, ob Kopf oder Zahl kommt. Doch nach dem millionsten Wurf wird das Ergebnis immer bei circa 50/50 liegen.

"Das gleiche Prinzip gilt für komplexere Probleme wie das Ising-Modell", so Berestycki weiter. "Aus der Zufälligkeit auf der Ebene der einzelnen Pfeile entsteht ein übergeordnetes Muster. Und solche Muster kann man nutzen, um die globalen Eigenschaften des Systems zu verstehen."

(Un)beschreibbare Welt

Nathanaël Berestycki arbeitet zwar nicht am 3D-Ising-Modell, untersucht aber derzeit das so genannte "Dimer-Modell", ein verwandtes System, anhand dessen ähnlich gut beschrieben werden kann, wie ein komplexes physikalisches System auf Änderungen der Wechselwirkungen zwischen seinen einzelnen Komponenten reagiert. 

Mathematiker*innen forschen oft viele Jahre lang an ein und demselben Problem, sagt Berestycki. Was ihn antreibt, ist "eine Faszination für die Realität und wie sie sich in der Mathematik widerspiegelt". Die besten Momente im Leben eines Mathematikers seien die, in denen sich ungeahnte Verbindungen zwischen verschiedenen Konzepten offenbaren. In solchen Augenblicken "fühlt man sich, als würde man auf einem Berggipfel stehen und die ganze Landschaft überblicken – man bekommt ein seltenes Gefühl der Klarheit".

Das Schwierige daran ist jedoch oft, den mathematischen Beweis zu finden. "Man hat vielleicht eine Intuition. Aber zu beweisen, dass die Dinge tatsächlich so sind, kann sehr, sehr schwierig sein", erklärt er. "Am Ende kommt man vielleicht gar nicht weiter – es ist manchmal zum Verzweifeln." Umso lohnender sei es aber, wenn endlich alle Puzzleteile zusammenpassen und ein komplizierter Beweis gelingt.

Die Kunst der Mathematik besteht darin, die Nadeln im Heuhaufen zu finden, fasst Berestycki zusammen, "die wenigen Ideen, die sich in einem Meer von potenziell wahren Ideen als tatsächlich wahr erweisen. Während wir einige dieser Wahrheiten zutage fördern können, werden andere wahrscheinlich für immer verborgen bleiben."